\(n\)が十分大きな値\((n>=30)\)の場合、サイコロを\(n\)個投げて出た目の平均を算出すると、以下の中心極限定理が成り立つ。
出所：統計WEB_中心極限定理
今回は、サイコロを\(n\)個投げて出た目の平均を算出してみたので、そのサンプルプログラムを共有する。なお、サイコロを\(1\)個投げた場合の期待値\(μ\)と分散\(σ^2\)は、以下のように計算される。
\[
\begin{eqnarray}
μ &=& E(X) = 1 \times \displaystyle \frac{1}{6} + 2 \times \displaystyle \frac{1}{6} + \cdots + 6 \times \displaystyle \frac{1}{6} = 3.5 \\
σ^2 &=& V(X) = E(X^2) – \left\{E(X)\right\}^2 \\
&=& 1^2 \times \displaystyle \frac{1}{6} + 2^2 \times \displaystyle \frac{1}{6} + \cdots + 6^2 \times \displaystyle \frac{1}{6} – 3.5^2 = \frac{35}{12}
\end{eqnarray}
\]
サイコロを\(5\)個投げて、出た目の平均を算出するプログラムと実行例は、以下の通り。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 | import numpy as np # サイコロをn個投げて、出た目の平均を算出する # サイコロを1個投げて出た目を、1～6までの乱数を1個生成することで表現 def calc_dice_mean(n): dice_trial = list() for i in range(0, n): dice_trial.append(np.random.randint(1,7,1)[0]) ret_mean = np.mean(dice_trial) print("サイコロの目 : " + str(dice_trial)) print(f"サイコロを{n}個投げて出た目の平均：{ret_mean}") return ret_mean # 5個のサイコロの目とその平均を算出 calc_dice_mean(5) |
また、\(5\)個のサイコロを投げたときの平均を\(10\)回算出し、それをグラフで描画するプログラムと実行例は、以下の通り。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 | %matplotlib inline import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt # サイコロをn個投げて、出た目の平均を算出する # サイコロを1個投げて出た目を、1～6までの乱数を1個生成することで表現 def calc_dice_mean(n): dice_trial = list() for i in range(0, n): dice_trial.append(np.random.randint(1,7,1)[0]) ret_mean = np.mean(dice_trial) return ret_mean # 5個のサイコロを投げたときの平均を10回算出し、それをグラフで描画 dice_cnt = 5 trial_cnt_loop = 10 dice_trial_ave_list = list() for i in range(0, trial_cnt_loop): dice_trial_ave_list.append(calc_dice_mean(dice_cnt)) print(f"サイコロを{dice_cnt}個投げて出た目の平均：" + str(dice_trial_ave_list)) plt.title("calc dice mean graph") plt.xlabel("dice_mean", size=14) plt.ylabel("trial_cnt", size=14) plt.hist(dice_trial_ave_list, range=(1, 6), bins=10) plt.show() |
さらに、\(5\)個のサイコロを投げたときの平均を\(10,000\)回算出し、それをグラフで描画し、 平均\(μ\)、分散\(\displaystyle \frac{σ^2}{5}\)である正規分布のグラフと並べて比較してみた結果は以下の通り。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 | %matplotlib inline import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt # サイコロをn個投げて、出た目の平均を算出する # サイコロを1個投げて出た目を、1～6までの乱数を1個生成することで表現 def calc_dice_mean(n): dice_trial = list() for i in range(0, n): dice_trial.append(np.random.randint(1,7,1)[0]) ret_mean = np.mean(dice_trial) return ret_mean # 正規分布の計算 # 引数のaveは平均、stdは標準偏差を表す def normal_distribution(x, ave, std): p = np.power(np.e, -((x - ave)** 2) / (2 * (std**2))) ret = 1 / (np.sqrt(2 * np.pi) * std) * p return ret # 5個のサイコロを投げたときの平均を10,000回算出し、それをグラフで描画 fig, ax = plt.subplots(1, 2, squeeze=False, figsize=[10,4.2]) dice_cnt = 5 trial_cnt_loop = 10000 dice_trial_ave_list = list() for i in range(0, trial_cnt_loop): dice_trial_ave_list.append(calc_dice_mean(dice_cnt)) ax[0, 0].hist(dice_trial_ave_list, range=(1, 6), bins=10) ax[0, 0].set_title("calc dice mean graph") ax[0, 0].set_xlabel("dice_mean", size=14) ax[0, 0].set_ylabel("trial_cnt", size=14) # 平均=3.5、標準偏差=((35/12)/5の平方根)である正規分布のグラフを描画 myu = 3.5 sigma = np.sqrt((35/12)/dice_cnt) x1 = np.linspace(1, 6, 100) y1_1 = normal_distribution(x1, myu, sigma) ax[0, 1].plot(x1, y1_1) ax[0, 1].set_title("normal distribution graph") ax[0, 1].set_xlabel("dice_mean", size=14) ax[0, 1].set_ylabel("probability_distribution", size=14) plt.show() |
上記より、\(5\)個のサイコロを投げたときの平均のグラフが、平均\(μ\)、分散\(\displaystyle \frac{σ^2}{5}\)である正規分布のグラフに近づいていることが確認できる。
また、\(30\)個のサイコロを投げたときの平均を\(10,000\)回算出し、それをグラフで描画し、 平均\(μ\)、分散\(\displaystyle \frac{σ^2}{30}\)である正規分布のグラフと並べて比較してみた結果は以下の通り。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 | %matplotlib inline import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt # サイコロをn個投げて、出た目の平均を算出する # サイコロを1個投げて出た目を、1～6までの乱数を1個生成することで表現 def calc_dice_mean(n): dice_trial = list() for i in range(0, n): dice_trial.append(np.random.randint(1,7,1)[0]) ret_mean = np.mean(dice_trial) return ret_mean # 正規分布の計算 # 引数のaveは平均、stdは標準偏差を表す def normal_distribution(x, ave, std): p = np.power(np.e, -((x - ave)** 2) / (2 * (std**2))) ret = 1 / (np.sqrt(2 * np.pi) * std) * p return ret # 30個のサイコロを投げたときの平均を10,000回算出し、それをグラフで描画 fig, ax = plt.subplots(1, 2, squeeze=False, figsize=[10,4.2]) dice_cnt = 30 trial_cnt_loop = 10000 dice_trial_ave_list = list() for i in range(0, trial_cnt_loop): dice_trial_ave_list.append(calc_dice_mean(dice_cnt)) ax[0, 0].hist(dice_trial_ave_list, range=(1, 6), bins=10) ax[0, 0].set_title("calc dice mean graph") ax[0, 0].set_xlabel("dice_mean", size=14) ax[0, 0].set_ylabel("trial_cnt", size=14) # 平均=3.5、標準偏差=((12/35)/30の平方根)である正規分布のグラフを描画 myu = 3.5 sigma = np.sqrt((12/35)/dice_cnt) x1 = np.linspace(1, 6, 100) y1_1 = normal_distribution(x1, myu, sigma) ax[0, 1].plot(x1, y1_1) ax[0, 1].set_title("normal distribution graph") ax[0, 1].set_xlabel("dice_mean", size=14) ax[0, 1].set_ylabel("probability_distribution", size=14) plt.show() |
上記より、中心極限定理が成立していて、\(5\)個のサイコロを投げた場合と比べ、分散が小さくなっていることが確認できる。
要点まとめ
- 標本を抽出する母集団が平均\(μ\)、分散\(σ^2\)の正規分布に従う場合においても、従わない場合においても、抽出するサンプルサイズ\(n\)が大きくなるについて標本平均の分布は「平均\(μ\)、分散\(σ^2/n\)」の正規分布\(N(μ, σ^2/n)\)に近づくという定理を、中心極限定理という。
