幾何分布のグラフを描画し期待値・分散を計算してみた

互いに独立な\(n\)回のベルヌーイ試行(=コインの裏表のように、何かを行ったときに起こる結果が\(2\)つしかない試行)を行うときに、初めて成功するまでの試行回数\(X\)が従う確率分布を幾何分布といい、\(k\)回目で初めて成功する確率は、以下の式で表せる。
\[
\begin{eqnarray}
P(X=k)=\left(1-p\right)^{k-1}p　(k=1,2,3,\cdots)
\end{eqnarray}
\]

例えば、サイコロを投げて\(1\)または\(2\)の目が出る場合の試行結果を\(1\), それ以外の試行結果を\(0\)とした場合、\(p=\displaystyle \frac{1}{3}\)となるため、表形式でまとめると以下のようになる。

また、この確率を計算しグラフにまとめた場合の、ソースコードと実行結果は、以下のようになる。

「AOMEI Backupper」は様々な形でバックアップ取得や同期処理が行える便利ツールだったパソコン内のデータを、ファイル/パーティション/ディスク等の様々な単位でバックアップしたり、バックアップ時のスケジュール設定やリアルタイ...

さらに、幾何分布の期待値\(E(X)\)と分散\(V(X)\)を計算する際、以下の無限等比級数の公式を利用する。

出所：高校数学の美しい物語_無限等比級数の公式

上記公式で、\(-1＜r＜1\)かつ\(a=1\)とすると、\(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}r^{k-1}=1+r+r^2+\cdots=\frac{1}{1-r}\)となる。

また、この公式を利用して、幾何分布の期待値\(E(X)\)は、以下のように計算できる。
\[
\begin{eqnarray}
E(X) &=& p + 2(1-p)p + 3(1-p)^2p + 4(1-p)^3p + \cdots \\
上式で、q &=& 1-pと置き換えると、\\
E(X) &=& p + 2qp + 3q^2p + 4q^3p + \cdots　　･･･① \\
qE(X) &=&　　　qp + 2q^2p + 3q^3p + \cdots　　･･･② \\
①-② &=& (1-q)E(X) = p + qp + q^2p + q^3p + \cdots \\
pE(X) &=& p(1 + q + q^2 + q^3 + \cdots ) \\
E(X) &=& 1 + q + q^2 + q^3 + \cdots = \displaystyle \frac{1}{1-q} = \frac{1}{p}
\end{eqnarray}
\]

さらに、幾何分布の分散\(V(X)\)は、以下のように計算できる。
\[
\begin{eqnarray}
V(X) &=& E(X^2) – {E(X)}^2 \\
E(X^2) &=& p + 2^2(1-p)p + 3^2(1-p)^2p + 4^2(1-p)^3p + \cdots \\
上式で、q &=& 1-pと置き換えると、\\
E(X^2) &=& p + 2^2qp + 3^2q^2p + 4^2q^3p + \cdots　　･･･① \\
qE(X^2) &=&　　　　qp + 2^2q^2p + 3^2q^3p + \cdots　　･･･② \\
①-② &=& (1-q)E(X^2) = p +3qp + 5q^2p + 7q^3p + \cdots \\
pE(X^2) &=& p(1 + 3q + 5q^2 + 7q^3 + \cdots) \\
E(X^2) &=& 1 + 3q + 5q^2 + 7q^3 + \cdots　　･･･③ \\
qE(X^2) &=&　　　q + 3q^2 + 5q^3 + \cdots　　･･･④ \\
③-④ &=& (1-q)E(X^2) = 1 + 2q + 2q^2 + 2q^3 + \cdots = 1 + 2q(1 + q + q^2 + \cdots) \\
pE(X^2) &=& 1 + 2q \times \displaystyle \frac{1}{1-q} = 1 + 2q \times \displaystyle \frac{1}{p} = 1 + \frac{2q}{p} \\
E(X^2) &=& \displaystyle \frac{1}{p} + \frac{2q}{p^2} = \frac{p+2q}{p^2} \\
V(X) &=& E(X^2) – {E(X)}^2 = \displaystyle \frac{p+2q}{p^2} – \left(\frac{1}{p}\right)^2 = \frac{p+2q}{p^2} – \frac{1}{p^2} = \frac{p+2q-1}{p^2} \\
&=& \displaystyle \frac{2q-1+p}{p^2} = \frac{2q-(1-p)}{p^2} = \frac{2q-q}{p^2} = \frac{q}{p^2} = \frac{1-p}{p^2}
\end{eqnarray}
\]

なお、上記で利用している期待値と分散の公式については、以下のサイトを参照のこと。
https://toketarou.com/expectation/

要点まとめ

• \(n\)回のベルヌーイ試行を行うときに初めて成功するまでの試行回数\(X\)が従う確率分布を、幾何分布という。
• \(n\)回のベルヌーイ試行を行うときに\(k\)回目で初めて成功する確率は、\(\left(1-p\right)^{k-1}p\)で表せる。
• 幾何分布において、期待値\(E(X)=\displaystyle \frac{1}{p}\)、分散\(V(X)=\displaystyle \frac{1-p}{p^2}\)となる。